[인공지능 수학] 미분의 정의

미분을 알아보기 전 기울기에 대해 알아보겠습니다.

 

기울기는 직선의 가파른 정도를 나타내는 지표로

y변화량 분의 x변화량으로 구할 수 있습니다.

 

좌표평면 위에 두 점 (0,2)와 (2,4)의 기울기는

y변화량  2 / x변화량 2 = 1이 됩니다.

 

그렇다면 좌표평면 위에 하나의 점이 있다고 생각할 때 이 하나의 점에서 기울기를

구하고 싶다면 어떻게 기울기를 구할지 고민해 봅시다.

 

하나의 점을 (x,f(x)) 이하 A 라고 정의하겠습니다.

이 점의 기울기를 알기 위해

임의의 점 (x+델타x, f(x+델타x)) 이하 P 라고 정의합니다.

 

이 두 점을 기준으로 직각 삼각형을 그렸을 때 

빗변이 두 점의 기울기가 됩니다.

 

https://www.geogebra.org/m/UDaBznAG

 

여기서 점 A의 기울기를 알고 싶다면 임의의 점 P를 0의 방향으로 이동시킵니다.

여기서 P는 0의 근사치입니다.

 

이때 점 P가 A의 위치와 한없이 가까워졌을 때의 기울기를 f`(x)라고 합니다.

 

 

이를 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

 

$$f'\left( x\right) =\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac{f\left( x+\Delta x\right) -f\left( x\right) }{\Delta x}$$

 

여기서 lim뒤에 나오는 식을 평균변화율이라 부릅니다.

lim는 극한이라 부르며 델타 x를 0으로 보낸다는 뜻입니다.

 

즉, 미분은 평균변화율의 극한을 말합니다. 이를 다른말로 순간변화율이라 부릅니다.

 

함수 f(x)의 미분에 대한 해석입니다.

 

- 입력 변수 x가 (아주 미세하게)변할 때, 함수 f(x)의 변화량을 나타내는 식

- 함수 f(x)가 입력 값 x의 미세한 변화에 얼마나 민감하게 반응하는지 나타내는 식

 

예시로 f(x) = x^2의 미분계수를 구해보도록 하겠습니다.

다음과 같은 풀이 과정으로 도출할 수 있습니다.

 

$$\dfrac{\left( x+\Delta x\right) ^{2}}{\Delta x}=\dfrac{x^{2}+2x\Delta x+\Delta x^{2}-x^{2}}{\Delta x}=2x+\Delta x$$

 

$$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}2x+\Delta x\rightarrow 2x=f'\left( x\right)$$

 

따라서 x가 2라면 2*2 = 4가 됩니다.

 

미분은 인공지능에서 매우 중요한 수학입니다.

경사하강법 등에서 미분을 사용하고 있습니다.

 

다음 포스트에서는 미분공식과 편미분을 알아보겠습니다.